Fondamenti della meccanica atomica
(1) V. bibl. n. 25 o n.34. Più generalmente vale il seguente teorema: se la funzione f è tale che esista , la serie (31) è almeno in media
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Possiamo ora estendere al caso di un intervallo infinito lo sviluppo di una funzione arbitraria in serie di autofunzioni: si avrà però in
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forma (86), prendendo per una funzione regolare, cioè una serie di potenze intere e positive di .
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coefficienti della serie : la prima delle condizioni così ottenute serve a determinare ed è, come si trova facilmente,
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dove Pe Q sono serie di potenze intere e positive di .
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Consideriamo ora la (x, y, z, t) più generale possibile. Fissato un valore di t, p. es. t = O, la potrà essere sviluppata in serie mediante le
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serie sarà sostituita da un integrale, cioè
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(189')(serie di potenze dispari),
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(189) (serie di potenze pari),
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Cerchiamo di integrare questa equazione con una serie della forma
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Ora si può dimostrare facilmente che in generale queste due serie hanno per delle singolarità essenziali: solo nel caso che uno dei coefficienti, p
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(da cui abbiamo escluso le potenze negative di perchè vogliamo che la soluzione sia finita anche per ). Sostituendo questa serie nella (186), si
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e cercando di soddisfare questa con la serie (234), si trova per le la formula ricorrente
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Si può quindi prendere per P una serie di potenze pari o di potenze dispari, col primo coefficiente arbitrario.
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Affinchè la serie si riduca ad un polinomio (di cui indicheremo il grado con n') occorre che sia : quindi che
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(i coefficienti della seconda sommatoria sono i coniugati di quelli della prima, cosicchè la y risulta reale): si verifica facilmente che le serie
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indefinitamente, si ottiene una serie divergente, e quindi non si può considerare la y approssimata da una serie del tipo (297) o (297'). Tuttavia, si può
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della serie s, della serie p, ecc., od anche di termini s, p, ecc. Si osservi che, essendo sempre la serie s incomincia col termine 1s, la serie p
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Graficamente, si usa rappresentare i livelli corrispondenti ai termini su diverse colonne, una per la serie s, una per la p, ecc., come si vede nella
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valori della serie (347) risultano interi: se j è semi-intero, risultano semi-interi.
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e quindi, sostituendo nell'espressione di X, questa diventa una serie doppia
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periodica del tempo, con la frequenza , e potrà svilupparsi nella serie semplice di Fourier,
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sottrazione. Si troveranno evidentemente due serie contenenti tutti termini del tipo
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Aggiungiamo inoltre che la f(x) resterebbe individuata (nel senso chiarito sopra) dalle anche se la serie non fosse convergente assolutamente, ma
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Definiremo allora come F() l'o. l. ottenuto sostituendo materialmente, nella serie precedente, il simbolo col simbolo (con che ogni termine della
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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Sia ora la funzione F definita dalla serie
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Sviluppiamo la in serie delle :
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Poichè le formano un sistema completo, qualunque funzione f si può sviluppare in serie delle , e quindi per qualunque f varrà
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Data ora una funzione di più variabili F (x, y, z,...) sviluppabile in serie di potenze, si può sempre scrivere ciascun termine della serie in forma
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La più generale si può naturalmente sviluppare in serie delle (89), cioè qualunque stato del sistema si può considerare come una sovrapposizione di
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(1) V. E. FERMI, Rend. Acc. Linc., XI, serie 60, 1° sem. 1930, p. 980, o anche N. Cim., VII (1930), p. 361.
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chiamati rispettivamente serie di Paschen (infrarossa), serie di Balmer (visibile), serie di Lyman (ultravioletta).
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facendo n'=2, ed n = 3, 4, 5... si riottiene la (10) che rappresenta la serie di Balmer: e facendo n' = 3 ed n = 4, 5, 6... si ottengono le frequenze
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dove R è la costante precedente, ed n', n sono due numeri interi. Facendo n'=1, ed n= 2, 3, 4... si hanno le frequenze della serie di Lyman:
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La funzione , che rappresenta l'effetto della perturbazione su , si potrà poi sviluppare in serie mediante le autofunzioni imperturbate (che formano
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sviluppiamo la in serie mediante le funzioni ortogonali (che, tutte insieme, formano un sistema completo) avremo
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di detta serie coincidono con le righe della serie di Balmer, come si constata osservando che la (12) può scriversi anche
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le cui frequenze sono quadruple di quelle della serie di Lyman dell'idrogeno, e quindi cadono nel campo della luce visibile anzichè
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Tale serie, osservata dapprima solo nello spettro di una stella, fu attribuita all'idrogeno, a causa del fatto che le righe di posto pari
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In seguito, poichè la teoria di Bohr condusse a prevedere che l'He+ deve emettere una serie siffatta, queste righe furono ricercate, e trovate, nello
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Supponiamo che per t = 0 lo stato del sistema sia rappresentato da una certa da considerarsi nota, che, sviluppata in serie mediante le , sia
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Guidati dalla scoperta delle serie dell'idrogeno, gli spettroscopisti ricercarono delle regolarità analoghe negli spettri di altri elementi, ed
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serie di righe si ottengono in generale combinando un termine fisso di una successione con tutti i termini di un'altra successione: vale a dire, la
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Il Bohr propose tale teoria per interpretare la serie di Balmer e le altre affini ed a questo caso ci riferiremo nell'esporla, ma il suo concetto
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Questa coincide con la relazione data dalla meccanica relativistica tra energia W e impulso p: prendendo il segno +, sviluppando in serie il radicale
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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Ogni atomo ha evidentemente una serie di energie di eccitazione la prima delle quali è quella chiamata «di risonanza»; esse si addensano verso un
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Nei §§ seguenti mostreremo sommariamente come questi fenomeni si siano potuti verificare sperimentalmente in una numerosissima serie di lavori, tra
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curva si presentano diverse serie di massimi, ogni serie corrispondendo a un livello di eccitazione.
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Accademia della crusca
